设等比数列的前n项和为S(n), 等比数列的第一项为a1，比值为q。

（1）S(n) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ (n - 1);

（2）S(n+1) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ (n - 1) + a1 * q ^ n;

由（2）式减（1）式得

（3）S(n+1) - s(n) = a1 * q ^ n;

由S(n) * q 得

（4）S(n) * q = a1 * q + a1 * q ^ 2 + ... + a1 * q ^ n;

由（2）- （4）得

（5）S(n+1) - S(n) * q = a1;

由（3） - （5） 得

[S(n+1) - S(n)] - [S(n+1) - S(n) * q] = a1 * q ^ n - a1;

化简得：

S(n) * q - S(n) = a1 * (q ^ n - 1);

即：S(n) = a1 * (q ^ n - 1) / (q - 1);